Cho hàm số y = f(x) có đồ thị C

85/235

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét điểm \(M\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) thay đổi trên \(\left( C \right)\). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \({k_M} = {x^2}\sqrt {{x^3} + 6} \) và điểm \(M\) trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Xác định biểu thức \(f\left( x \right)\).

\(f\left( x \right) = \frac{{2\sqrt {{{\left( {{x^3} + 6} \right)}^3}} }}{3} - \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).

\(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{{\left( {{x^3} + 6} \right)}^3}} }}{9} + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).

\(f\left( x \right) = \frac{{2\sqrt {{{\left( {{x^3} + 6} \right)}^3}} }}{9} - \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\).

\(f\left( x \right) = - \frac{{2\sqrt {{{\left( {{x^3} + 6} \right)}^3}} }}{9} - \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\).

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đổi biến, tính nguyên hàm

Lời giải

Theo đề bài ta có:

\(f'\left( x \right) = {x^2}\sqrt {{x^3} + 6} \Rightarrow f\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ {x^2}\sqrt {{x^3} + 6} dx\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 6} \Rightarrow {t^2} = {x^3} + 6 \Rightarrow 2tdt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{2t}}{3}dt\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ {x^2}\sqrt {{x^3} + 6} dx = \mathop \smallint \nolimits^ t.\frac{{2t}}{3}dt = \frac{2}{3}.\frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{2{t^3}}}{9} + C = \frac{{2\sqrt {{{\left( {{x^3} + 6} \right)}^3}} }}{9} + C\)

Vì \(M\) trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên \(f\left( 0 \right) = 0\)

\( \Rightarrow f\left( 0 \right) = \frac{{2\sqrt {{6^3}} }}{9} + C = 0 \Rightarrow c = - \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\)

Vậy hàm \(f\left( x \right) = \frac{{2\sqrt {{{\left( {{x^3} + 6} \right)}^3}} }}{9} - \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\)