Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ và y = f'(x) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.             b) Sai.                  c) Sai.                  d) Đúng.

a) Sai. Từ đồ thị trên ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(x) nghịch biến trên (−∞; −2).

b) Sai. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(x) có 1 điểm cực trị là x = 1.

c) Sai. Từ đồ thị hàm số f'(x) ta có f'(x) = a(x + 2)²(x – 1).

Đồ thị hàm số y = f'(x) đi qua (0; −4) nên −4 = a(0 + 2)²(0 – 1) Û a = 1.

Vậy f'(x) = (x + 2)²(x – 1) Þ f'(2) = (2 + 2)²(2 – 1) = 16.

d) Đúng. Ta có g'(x) = f'(x) – x + 1; g'(x) = 0 Û f'(x) = x – 1.

Nghiệm của phương trình trên là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f'(x) và đường thẳng y = x – 1.

Dựa vào đồ thị ta có f'(x) = x – 1 Û x = −3 hoặc x = −1 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số g(x):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−3; −1).