Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f '(x) được cho bởi hình bên. Giả sử \[f'\left( x \right) > x + 2,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\]và \[f'\left( x \right) <

Ta có \[g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2(x + 2),x \in \left[ { - 2;3} \right].\]

Vẽ đường thẳng y = x + 2 và dựa vào đồ thị, ta có:

\[g'\left( x \right) = 0\] trên đoạn \[\left[ { - 2;3} \right]\] tại \[x \in \left\{ { - 2;0;1;3} \right\}.\]

Từ giả thiết ta có \[g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right);g'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right).\]

Ta có bảng biến thiên:Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên \[\left[ { - 2;3} \right]\] bằng g(-2) hoặc bằng g(3).

Ta có: \[\int_{ - 2}^0 {\left( {f'\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right)} dx > \int_0^3 {\left( {x + 2 - f'\left( x \right)} \right)} dx\]

\[ \Rightarrow \int_{ - 2}^0 {g'\left( x \right)} dx > \int_0^3 {\left( { - g'\left( x \right)} \right)} dx \Rightarrow g\left( 0 \right) - g\left( { - 2} \right) > g\left( 0 \right) - g\left( 3 \right)\]Do đó \[g\left( { - 2} \right) < g\left( { - 3} \right)\]. Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 2} \right) = 2f\left( { - 2} \right) = 2.\]