Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R, thỏa mãn f(-1) = f(3) = 0 và đồ thị của hàm số y = f'(x) có dạng như hình dưới đây.
93/235
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn f(-1) = f(3) = 0 và đồ thị của hàm số y = f'(x) có dạng như hình dưới đây.
Hàm số \(y = {f^2}(x)\) nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ;a)\) và \((b;c) (a < b < c)\).
Tính giá trị của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4}.\)
Đáp án: _____
Phương pháp giải
Từ già thiết lập BBT của \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) và chứng minh \(f\left( x \right) \le 0\). Giải bất phương trình \(y' < 0\) tìm \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) sau đó tính P .
Giải chi tiết
Từ đồ thị ta có BBT là
Từ BBT suy ra \(f\left( x \right) \le 0\forall x\)
\(y = {f^2}\left( x \right) \Rightarrow y' = 2f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right) < 0\)\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{x < - 1}\\{1 < x < 3}\end{array} \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {1,3} \right)\)\( \Rightarrow P = {a^2} + {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} = 1 + 1 + \frac{9}{4} = \frac{{17}}{4}\)