Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Hàm số y = f'( x ) có bảng biến thiên như sau
27/233
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình \(f\left( x \right) \ge \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} + m\) có nghiệm khi và chỉ khi
\(m \le f\left( 1 \right) - \sqrt 2 \).
\(m < f\left( 1 \right) - \sqrt 2 \).
\(m \le f\left( { - 1} \right) + \sqrt 2 \).
\(m < f\left( { - 1} \right) + \sqrt 2 \).
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Tính giá trị lớn nhất
Lời giải
Bất phương trình \(f\left( x \right) \ge \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} + m\) có nghiệm \(\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\)
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) - \left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right) \ge m\) có nghiệm \(\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)
Ta có : \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \left( {\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }}} \right) < 0 \Rightarrow \) hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)
Vì \(\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) \le 0\) và \(\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)\)
Ta có: \( \Rightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) \le 1\)
Ta suy ra : \(m \le g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) + \sqrt 2 \)