Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f(0) = 3 và f(x) + f(2 - x) = x^2 - 2x + 2, với mọi x thuộc R. Tích phân từ 0 đến 2 của xf'(x) dx bằng

Đáp án D

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có ∫02xf'xdx=xfx02−∫02fxdx

Từ fx+f2−x=x2−2x+2,∀x∈ℝ 1

Thay  x=0 vào (1) ta được f0+f2=2⇒f2=2−f0=2−3=−1

Xét ∫02fxdx

Đặt x=2−t⇒dx=−dt,  đồi cận: x=0⇒t=2x=2⇒t=0

Khi đó I=−∫20f2−tdt=∫02f2−tdt⇒I=∫02f2−xdx

I=∫20f(2−t)dt=∫02f(2−t)dt⇒I=∫02f(2−x)dx

Do đó ta có ∫02fx+f2−xdx=∫02x2−2x+2dx

⇔2∫02fxdx=83⇔∫02fxdx=43

Vậy ∫02xf'xdx=xfx02−∫02fxdx=2−1−43=−103.