Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] và f(1) + f(2) = 0

Đặt I=∫12f'(x)cos(πx)dx=π2.

Đặt u=cos(πx)dv=f'xdx⇒du=−πsinπx.dxv=fx

⇒I=fxcos(πx)12+π∫12fxsinπx.dx

⇒I=f2cos2π−f1cosπ+π∫12fxsinπx.dx

⇒∫12fxsinπx.dx=12.

Ta có ∫12sin2πx.dx=12∫121−cos2πxdx=12x−sin2πx2π12=12.

Do đó ∫12(f(x))2 dx−2∫12f(x)sin(πx)dx+∫12sinπx2dx=0

 ∫12f2x−2fxsinπx+sinπx2=0⇔∫12fx−sinπx2dx=0.

Do đó ∫12f(x)dx=∫12sinπx.dx=−1πcosπx12=−2π.