Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên (0; dương vô cùng), f(1) = 1 và thỏa mãn x^3f(x) + 2f^3(x) = 2x^4f'(x), với mọi x thuộc (0;dương vô cùng)

49/50

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên 0; +∞, f(1) = 1 và thỏa mãn x3fx+2f3x=2x4f'x, ∀x∈0; +∞. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=1; x=4.

152

143

2554

625

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Ta có x3fx+2f3x=2x4f'x

⇔x3fx−2xf'x=−2f3x

⇔x3fx−2xf'xf3x=−2

⇔x3.f2x−2xfx.f'xf4x=−2

⇔x3.x'.f2x−x.f2x'f4x=−2

⇔xf2x'=−2x3=1x2'

⇒xf2x=1x2+C

Cho x=1⇒1=1+C⇔C=0⇒f2x=x3⇔fx=xx.

Vậy S=∫14xx dx=625.