Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 2)(x + 1)^2(x + 3)

22/22

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x + 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x + 3} \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = m\). Tính giá trị của \(m\).

Đáp số: ___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 2,x = - 1,x = - 3\).

Trong đó:

\(x = - 1\) là nghiệm bội chẵn (mũ 2) nên khi đi qua nghiệm này, đạo hàm \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu \( \to \) điểm này không thể là cực trị.

\(x = - 2\) và \(x = - 3\) là các nghiệm bội lẻ (mũ 1) nên đạo hàm sẽ đổi dấu khi đi qua chúng.

Ta lập bảng xét dấu cho \(f'\left( x \right)\) để xác định cực tiểu:

Khi \(x > - 1\) hoặc \( - 2 < x < - 1\): chọn thử \(0 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 6 > 0\). Vậy khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), \(f'\left( x \right)\) mang dấu dương \(\left( + \right)\).

Khi \( - 3 < x < - 2\): chọn thử \( - 2,5 \Rightarrow f'\left( { - 2,5} \right) = \left( { - 0,5} \right) \cdot {\left( { - 1,5} \right)^2} \cdot \left( {0,5} \right) < 0\). Trên khoảng này, \(f'\left( x \right)\) mang dấu âm \(\left( - \right)\).

Khi \(x < - 3\): chọn thử \( - 4 \Rightarrow f'\left( { - 4} \right) = \left( { - 2} \right) \cdot {\left( { - 3} \right)^2} \cdot \left( { - 1} \right) > 0\). Trên khoảng này, \(f'\left( x \right)\) mang dấu dương \(\left( + \right)\).

Sơ đồ đổi dấu của đạo hàm khi qua các điểm từ trái sang phải:

Qua \(x = - 3\): đổi dấu từ \(\left( + \right)\) sang \(\left( - \right)\) \( \to \) Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3\).

Qua \(x = - 2\): đổi dấu từ \(\left( - \right)\) sang \(\left( + \right)\) \( \to \) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2\).

Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2\), suy ra \(m = - 2\).

Đáp số: \( - 2\).