Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)^2 (x - 1)^5 (x - 3)

11/22

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^5}\left( {x - 3} \right)\) \(\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\). Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

Giải thích

Xét phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) (nghiệm bội 2), \(x = 1\) (nghiệm bội lẻ 5), \(x = 3\) (nghiệm đơn 1).

Ta xét dấu \(f'\left( x \right)\):

Khi qua \(x = - 1\), \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu (vì là nghiệm bội chẵn).
Khi qua \(x = 1\) và \(x = 3\), \(f'\left( x \right)\) đổi dấu.

Xét dấu của \(f'\left( x \right)\) trên các khoảng:

Với \(x > 3 \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\).
Với \(1 < x < 3 \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\).
Với \(x < 1 \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\).

Do đó, tại điểm \(x = 1\), đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi đi từ trái sang phải, nên \(x = 1\) là điểm cực đại của hàm số. Tại điểm \(x = 3\), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên là điểm cực tiểu.

Vậy hàm số có duy nhất 1 điểm cực đại.

Chọn D.