Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = e^x + 2x + 1 với mọi x ∈ ℝ và f(0) = 1. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(1) = e. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Ta có f(x) = \(\int {\left( {{e^x} + 2x + 1} \right)} dx = {e^x} + {x^2} + x + C\).

Vì f(0) = 1 nên e⁰ + 0² + 0 + C = 1 suy ra 1 + C = 1 hay C = 0.

Do đó f(x) = e^x + x² + x.

b) Đúng. Ta có F(x) = \(\int f (x)dx = \int {\left( {{e^x} + {x^2} + x} \right)} dx = {e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + {C_1}\).

Lại có F(1) = e nên \({e^1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + {C_1} = e\) suy ra \(\frac{5}{6} + {C_1} = 0\) hay \({C_1} = - \frac{5}{6}\).

Vậy F(x) = \({e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - \frac{5}{6}\).

c) Đúng. Thay x = 0 vào biểu thức F(x), ta có F(0) = \({e^0} + 0 + 0 - \frac{5}{6} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\).

d) Đúng. Thay x = −1 vào biểu thức F(x), ta có

F(−1) = \[{e^{ - 1}} + \frac{1}{3}{\left( { - 1} \right)^3} + \frac{1}{2}{\left( { - 1} \right)^2} - \frac{5}{6} = \frac{1}{e} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{5}{6} = \frac{1}{e} - \frac{4}{6} = \frac{1}{e} - \frac{2}{3}\].