Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = 6x^2 + 2 với mọi x ∈ ℝ và f(1) = 3. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Sai.

a) Đúng. Ta có f(x) = \(\int {f'} (x)dx = \int {\left( {6{x^2} + 2} \right)} dx = 2{x^3} + 2x + {C_1}\).

Vì f(1) = 3 nên 2 + 2 + C₁ = 3 suy ra C₁ = −1. Do đó f(x) = 2x³ + 2x − 1.

b) Đúng. Ta có F(x) = \(\int f \left( x \right)dx = \int {\left( {2{x^3} + 2x - 1} \right)} dx = \frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} - x + {C_2}\).

Vì F(0) = 2 nên 0 + 0² − 3×0 + C₂ = 2 suy ra C₂ = 2. Vậy\(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} - x + 2\).

c) Sai. Thay x = 1 vào biểu thức F(x), ta được \(F\left( 1 \right) = \frac{{{1^4}}}{2} + {1^2} - 1 + 2 = \frac{5}{2}\)

d) Sai. Thay x = 0 vào biểu thức f(x), ta được\(F\left( 0 \right) = \frac{{{0^4}}}{2} + {0^2} - 0 + 2 = 2\).