Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trên R, hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(sinx + (căn bậc hai của 3)cos(x/2)) trên đoạn [-5pi/6; pi/6] đ
63/235
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp \(2\)trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( {\frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{6};\frac{\pi }{6}} \right]\) đạt tại \(x = a.\pi \). Khi đó giá trị của \(a\) là
Đáp án đúng là: __________
Đáp án đúng là: \( - \frac{1}{3}.\)
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2} = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\)
Vì \(x \in \left[ { - \frac{{5\pi }}{6};\frac{\pi }{6}} \right] \Rightarrow x + \frac{\pi }{3} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in [ - 1;1].\)
Dựa vào đồ thị của hàm số f'(x), ta có bảng biến thiên
Ta có: \({\max _{\left[ { - \frac{{5\pi }}{6};\frac{\pi }{6}} \right]}}f\left( {\frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2}} \right) = {\max _{[ - 1;1]}}f(t) \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3}.\)
Vậy \({\max _{\left[ { - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}} \right]}}f\left( {\frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2}} \right) = f\left( { - \frac{\pi }{3}} \right).\)
Đáp án cần điền là: \(\frac{{ - 1}}{3}.\)