Cho hàm số: y= f(x) có đạo hàm

15/235

Cho hàm số: \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 9} \right){(x - 4)^2},\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào?

\(\left( { - 4; - 2} \right)\).

\(\left( { - 2;1} \right)\).

\(\left( { - 3;0} \right)\).

\(\left( {1;4} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\)

Lời giải

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\)

\[g'(x) = 2x.f'\left( {{x^2}} \right),g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x.{\left( {{x^2}} \right)^2}\left( {{x^2} - 9} \right){\left( {{x^2} - 4} \right)^2} = 0\]

\[ \Rightarrow 2{x^5}(x - 3)(x + 3){(x - 2)^2}{(x + 2)^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 3}\\{x = - 3}\\{x = 2}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\]

Hai nghiệm \(x = 2,x = - 2\) là nghiệm kép nên \(g'\left( x \right)\) không đổi dấu khi x đi qua hai điểm này

Bảng biến thiên:

Cho hàm số: y= f(x) có đạo hàm (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3;0} \right);\left( {3; + \infty } \right)\)