Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sự tương giao đồ thị.

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình

\(f\left( {{\rm{sin}}x + 1} \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x + 1 = a\,\,(a < 0)}\\{{\rm{sin}}x + 1 = b\,\,(0 < b < 1)}\\{{\rm{sin}}x + 1 = c\,\,(1 < c < 2)}\\{{\rm{sin}}x + 1 = d\,\,(d > 2)}\end{array}} \right.\).

Vì \(x \in \left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) nên \({\rm{sin}}x + 1 \in \left[ {0;2} \right]\). Do đó \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x + 1 = b\,\,(0 < b < 1)\,\,(1)}\\{{\rm{sin}}x + 1 = c\,\,(1 < c < 2)\,\,(2)}\end{array}} \right.\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {\rm{sin}}x + 1\) trên \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\)

\(g'\left( x \right) = {\rm{cos}}x\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} \vee x = \frac{\pi }{2} \vee x = \frac{{3\pi }}{2}\) (do \(x \in \left[ { - \pi ;2\pi } \right]\))

BBT

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy số nghiệm của phương trình \(f\left( {{\rm{sin}}x + 1} \right) = 2\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) là 6.