a) Đúng.Thời gian tàu chạy quãng đường \(1\)km là: \(\frac{1}{{10}}\) (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \(\frac{1}{{10}} \cdot 480000 = 48000\) (đồng).

b) Sai.Gọi \(x\)(km/h) là vận tốc của tàu, \(x > 0\).

Thời gian tàu chạy quãng đường \(1\)km là: \(\frac{1}{x}\) (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \(\frac{1}{x} \cdot 480 = \frac{{480}}{x}\)(nghìn đồng).

Hàm chi phí cho phần thứ hai là \(p = k{x^3}\) (nghìn đồng/ giờ).

Khi \(x = 10 \Rightarrow p = 30 \Rightarrow k = 0,03\) nên \(p = 0,03{x^3}\) (nghìn đồng/ giờ).

Do đó chi phí phần 2 để chạy \(1\)km là: \(\frac{1}{x} \cdot 0,03{x^3} = 0,03{x^2}\)(nghìn đồng).

Vậy tổng chi phí: \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2}\) (nghìn đồng).

c) Đúng.Tổng chi phí: \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2}\) (nghìn đồng).

Thay \(x = v = 30\)(km/giờ) vào ta có \(f\left( {30} \right) = \frac{{480}}{{30}} + 0,03 \cdot {30^2} = 43\)(nghìn đồng).

d) Đúng.\(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2} = \frac{{240}}{x} + \frac{{240}}{x} + 0,03{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{1728}} = 36.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 20\). Khi đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \,f\left( x \right) = 36\) tại \(x = 20\).

Vậy vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên \(1\)km đường sông nhỏ nhất là \(v = 20\)(km/giờ).

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau