Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d với a khác 0 có hai hoành độ

50/50

Cho hàm số y=fx=ax3+bx2+cx+d với a≠0 có hai hoành độ cực trị là x = 1 và x = 3. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x) = f(m) có đúng ba nghiệm phân biệt là

0;4\1;3

(0; 4)

(1; 3)

(f(1); f(3))

Giải thích

Chọn B.

Vì hàm số y=fx=ax3+bx2+cx+d với a≠0 có hai hoành độ cực trị là x = 1 và x = 3.

Suy ra f'x=3ax2+2bx+c=3ax−1x−3,∀x∈ℝ⇔b=−6ac=9a

⇒y=fx=ax3−6ax2+9ax+d

Do đó ta có f1=f4=4a+d;f0=f3=d.

Trường hợp 1. Với a > 0 ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d với a khác 0 có hai hoành độ (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = t có ba nghiệm phân biệt khi f(3) < t < f(1)

Xét phương trình: fm=t,t∈f3;f1⇔m∈0;4\1;3.fm=t,t∈f3;f1⇔m∈0;4\1;3.

Trường hợp 2. Với a < 0 ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d với a khác 0 có hai hoành độ (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = t có ba nghiệm phân biệt khi f(1) < t < f(3)

Xét phương trình: fm=t,t∈f1;f3⇔m∈0;4\1;3.

Vậy để phương trình f(x) = f(m) có đúng ba nghiệm phân biệt khi m∈0;4\1;3.