Cho hàm số y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d

37/233

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Biết rằng đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị \(H = f\left( 4 \right) - f\left( 2 \right)\)?

\(H = 45\).

\(H = 64\).

\(H = 51\).

\(H = 58\).

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân

Lời giải

Theo bài ra \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) do đó \(y = f'\left( x \right)\) là hàm bậc hai có dạng \(y = f'\left( x \right) = a'{x^2} + b'x + c'\).

Dựa vào đồ thị ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c' = 1}\\{a' - b' + c' = 4}\\{a' + b' + c' = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a' = 3}\\{b' = 0}\\{c' = 1}\end{array} \Rightarrow y = f'\left( x \right) = 3{x^2} + 1} \right.} \right.\).

Gọi \(S\) là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f'\left( x \right)\), trục \(Ox,x = 4,x = 2\).

Ta có \(S = \int\limits_2^4 {\left( {3{x^2} + 1} \right){\rm{dx}}} = 58\).

Lại có: .

Do đó: \(H = f\left( 4 \right) - f\left( 2 \right) = 58\).