Cho hàm số y = f(x) = (ax^2 + bx + c)/( x + d) có đồ thị như hình vẽ:
13/22
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)
Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có đồ thị như hình vẽ:
Đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).
Tổng hai hệ số \(c\) và \(d\) bằng 1.
Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = - x\).
Để đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho \(OA \bot OB\) thì \(m\) là nghiệm của phương trình \({m^2} - 2m - 3 = 0\).
a) Quan sát đồ thị có hướng đi xuống (từ trái sáng phải) nên đây là đồ thị của hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Nên đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) luôn âm với mọi \[x \in \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \]. Suy ra a) là khẳng định sai
b) Từ đồ thị, ta có
Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = 2\). Do đó \(d = - 2\).
Giao điểm với trục tung: Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0; - 1,5)\).
Thay \(x = 0\) vào hàm số: \(f(0) = \frac{c}{d} = - 1,5\).
Với \(d = - 2 \Rightarrow \frac{c}{{ - 2}} = - 1,5 \Rightarrow c = 3\).
Vậy tổng hai hệ số \(c\) và \(d\) bằng 1 là khẳng định đúng.
c) Giao điểm với trục hoành: Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại hai điểm \(( - 1;0)\) và \((3;0)\).
Thay \(x = - 1\): \(a{( - 1)^2} + b( - 1) + 3 = 0 \Rightarrow a - b + 3 = 0 \Rightarrow a - b = - 3\) (1)
Thay \(x = 3\): \(a{(3)^2} + b(3) + 3 = 0 \Rightarrow 9a + 3b + 3 = 0 \Rightarrow 3a + b = - 1\) (2)
Giải hệ (1) và (2), ta được: \(a = - 1\) và \(b = 2\).
Vậy hàm số là: \(y = f(x) = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}}\). \(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}} = - x + \frac{3}{{x - 2}}\)
do đó tiệm cận xiên là \(y = - x\). Khẳng định đúng.
d) Điều kiện để \(OA \bot OB\).
Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = f(x)\) và \(y = m\):
\(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}} = m \Leftrightarrow {x^2} + (m - 2)x - 2m - 3 = 0\quad (x \ne 2)\)
Gọi \(A({x_1};m)\) và \(B({x_2};m)\). Theo định lý Vi-ét: \({x_1}{x_2} = - 2m - 3\).
Để \(OA \bot OB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {m^2} = 0\) \( \Leftrightarrow - (2m + 3) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\).
Khẳng định đúng.