Cho hàm số y = f(x)= {{a{x^2} + bx + c} / {x + d}
15/22
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\).
Tích giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng \( - 12\).
Cho điểm \(M\) có hoành độ lớn hơn \(2\), di chuyển trên đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\). Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai trục tọa độ bằng \(4 + 4\sqrt 2 \).
\(a + b + c + d = - 5\).
a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).
b) Tích giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng \( - 6 \times 2 = - 12\).
c) Đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow d = - 2\).
Điểm \(\left( {0;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow \frac{c}{d} = 2 \Rightarrow c = 2 \times \left( { - 2} \right) = - 4\).
Khi đó: \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx - 4}}{{x - 2}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{a{x^2} - 4ax - 2b + 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 0\\f\left( 4 \right) = - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2b + 4}}{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}} = 0\\\frac{{16a + 4}}{2} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\).
Giả sử \(M\left( {m;\frac{{ - {m^2} + 2m - 4}}{{m - 2}}} \right)\)\(\left( {m > 2} \right)\)\[ \Rightarrow d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = \left| m \right| + \left| {\frac{{ - {m^2} + 2m - 4}}{{m - 2}}} \right|\]
\( \Rightarrow d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = g\left( m \right) = m + \frac{{{m^2} - 2m + 4}}{{m - 2}} = \frac{{2{m^2} - 4m + 4}}{{m - 2}}\).
Xét \(g'\left( m \right) = \frac{{2{m^2} - 8m + 4}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow m = 2 + \sqrt 2 \Rightarrow {g_{\min }} = {\left[ {d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right)} \right]_{\min }} = 4 + 4\sqrt 2 \).
d) Ta có: \(a + b + c + d = - 1 + 2 - 4 - 2 = - 5\).