Cho hàm số y = f(x) = (ax^2 + bx + 2025)/(x + 2) (a, b là các tham số thực, a khác 0). Biết đồ thị hàm số y = f(x) có một đường tiệm cận xiên

22/22

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + 2025}}{{x + 2}}\) (\(a,b\) là các tham số thực, \(a \ne 0\)). Biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một đường tiệm cận xiên là \(\left( \Delta \right):y = x + 4\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp số: ___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta thực hiện phép chia đa thức tử số cho mẫu số \(x + 2\):

\(a{x^2} + bx + 2025 = ax\left( {x + 2} \right) + \left( {b - 2a} \right)x + 2025 = ax\left( {x + 2} \right) + \left( {b - 2a} \right)\left( {x + 2} \right) + 2025 - 2\left( {b - 2a} \right)\).

Suy ra \(f\left( x \right) = ax + \left( {b - 2a} \right) + \frac{{2025 - 2b + 4a}}{{x + 2}}\).

Để đường thẳng \(y = x + 4\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số, điều kiện cần và đủ là các hệ số tương ứng của phần đa thức phải bằng nhau: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b - 2a = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 6\end{array} \right.\).

Thay \(a = 1,b = 6\) vào, phần dư là \(2025 - 2 \cdot 6 + 4 \cdot 1 = 2017 \ne 0\) (thỏa mãn điều kiện tồn tại tiệm cận).

Giá trị của biểu thức \(P\) là: \(P = {a^2} + {b^2} = {1^2} + {6^2} = 1 + 36 = 37\).

Đáp số: 37.