Cho hàm số y = f(x) = (ax + b)/(cx + d) (với c khác 0; ad - bc khác 0) có đồ thị là đường cong (C) trong hình vẽ
20/22
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) (với \(c \ne 0;\,ad - bc \ne 0\)) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\) trong hình vẽ. Biết rằng \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\), tính \(f'\left( 0 \right)\).
Từ đồ thị ở hình vẽ, ta xác định được các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
- Tiệm cận đứng: \(x = - 1\).
- Tiệm cận ngang: \(y = - 2\).
Dựa vào công thức tiệm cận của hàm bậc nhất trên bậc nhất:
- Tiệm cận đứng \(x = - \frac{d}{c} = - 1 \Rightarrow d = c\).
- Tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c} = - 2 \Rightarrow a = - 2c\).
Đồ thị đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = \frac{b}{d} = 1 \Rightarrow b = d = c\).
Thay các hệ số theo \(c\) vào hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{ - 2cx + c}}{{cx + c}} = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}\).
Tính đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot 1 - 1 \cdot 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Giá trị đạo hàm tại \(x = 0\) là: \(f'\left( 0 \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {0 + 1} \right)}^2}}} = - 3\).
Đáp án: −3.