Cho hàm số y = f(x) = ax + b + 1/(x - c) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
13/22
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = ax + b + \frac{1}{{x - c}}\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = x\) làm tiệm cận xiên
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left( {1;\, + \infty } \right)\) đạt được tại \(x = 2\)
\(a + b + c = 0\)
Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và điểm \(M\) thuộc tia \(Ox\) thỏa mãn \(\widehat {AMB} \le 90^\circ \) thì giá trị nhỏ nhất của đoạn \(OM\) bằng \(3,5\)
Xét mệnh đề a)
Gọi phương trình đường tiệm cận xiên là \(y = ax + b\) đi qua \(\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;\,0} \right)\\I\left( {1;\,1} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}0a + b = 0\\a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường tiệm cận xiên là \(y = x\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Hàm số có dạng \(y = f\left( x \right) = x + 0 + \frac{1}{{x - c}}\) và đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\)
Do đó \[x = c = 1\] nên \(y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{{x - 1}} = \left( {x - 1} \right) + \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}} + 1 \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} + 1 = 3\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(x - 1 = \frac{1}{{x - 1}} \Leftrightarrow x = 2\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = 1\end{array} \right.\] nên \(a + b + c = 1 + 0 + 1 = 2\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;\, - 1} \right)\); \(B\left( {2;\,3} \right)\) và gọi \(M\left( {m;\,0} \right)\)
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = \left( { - m;\, - 1} \right)\\\overrightarrow {MB} = \left( {2 - m;\,3} \right)\end{array} \right.\] mà \[\widehat {AMB} \le 90^\circ \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} } \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} \ge 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \ge 0\]
\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\m \ge 3\end{array} \right.\) nên \(OM = \left| m \right| = m \ge 3\) nên giá trị nhỏ nhất bằng \(3\) khi\(M\left( {3;\,0} \right)\) nên mệnh đề d) sai