Cho hàm số y = f(x) = 2x + 3. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Sai.

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2x + 3} \right)dx}  = {x^2} + 3x + C\).

\(F\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow {1^2} + 3.1 + C = 2 \Rightarrow C =  - 2\).

Vậy, \(F\left( x \right) = {x^2} + 3x - 2\).

b) Đúng.

Ta có

\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_5^2 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_5^2 {f\left( x \right)dx} \)

\( = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} \) \( = \int\limits_{ - 1}^5 {f\left( x \right)dx}  = 42\)

c) Sai.

Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2x + 3} \right|dx}  = \frac{{13}}{2}\).

d) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm: \(2x + 3 = {x^2} - 2x + 6 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_1^3 {\left| {{{\left( {{x^2} + 3x - 2} \right)}^2}} \right|dx}  = \frac{{2576\pi }}{{15}}\).