Cho hàm số y= f(x)= 1 khi 0<= x<=1 và 1+ x khi 1< x<=2 và 5-x khi 2< x<=3 có đồ thị như Hình 1. Tại mỗi điểm x0 = 1 và x0 = 2, có tồn tại giới hạn không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(x0)

+) Tại x₀ = 1 ta có:

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < 1 và x_n → 1 thì f(x_n) = 1 khi đó  limxn→1−fxn=1.

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 1 < x_n ≤ 2 và x_n → 1 thì f(x_n) = 1 + x_n  khi đó  limx→1+fxn=2.

Suy ra  limxn→1−fxn≠limxn→1+fxn. Do đó không tồn tại   limx→1fx.

+) Tại x₀ = 2

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < 2 và x_n → 2 thì f(x_n) = 1 + x_n khi đó  limxn→2−fxn=3.

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 2 < x_n ≤ 3 và x_n → 2 thì f(x_n) = 5 – x_n khi đó  limx→2+fxn=3.

Suy ra  limxn→2−fxn=limxn→2+fxn=3. Do đó  limx→2fx=3.

Ta có f(2) = 1 + 2 = 3.

Vì vậy  limx→2fx=f2=3.