Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}\).

43/50

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).

b) Biết \(f\left( 0 \right) = 3\). Khi đó, \(f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 3\).

c) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 3} \right){\rm{d}}x = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 3x} } + C\), với \(C\) là hằng số.

d) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó, \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có \[Q\left( t \right) = \int {Q'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {\left( {4{t^3} - 72{t^2} + 288t} \right){\rm{d}}t} } = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + C\].

Mà \[Q\left( 2 \right) = 500 \Rightarrow C = 100\].Suy ra\[Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + 100\].

Sau 5 giờ lượng khách tham quan là \[Q\left( 5 \right) = 1\,325\].

Ta có \(Q'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\) hoặc \(t = 6\) hoặc \(t = 12\).

Có \[Q\left( 0 \right) = 100,\,Q\left( 6 \right) = 1\,396,\,Q\left( {12} \right) = 100,Q\left( {13} \right) = 269\]. Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,13} \right]} Q\left( t \right) = Q\left( 6 \right) = 1396.\] có nghĩa là lượng khách tham quan lớn nhất là 1 296 người.

Để tìm thời điểm tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất, ta tìm thời điểm \(t\) để \(Q'\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0;13} \right]\). Ta có \(Q''\left( t \right) = 12{t^2} - 144t + 288\).

\(Q''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6 + 2\sqrt 3 \) hoặc \(t = 6 - 2\sqrt 3 \).

Có \(Q'\left( 0 \right) = 0;\,Q'\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right) \approx 332,56;\,\,Q'\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right) \approx - 332,56;\,\,Q'\left( {13} \right) = 364\).

Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số \(Q'\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;13} \right]\) bằng \(364\) tại \(t = 13\).

Vậy tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm \[t = 13\].

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.