Cho hàm số y = f ( x ) = x^3 − sin 2x . a) Hàm số F ( x ) = x^4 /4 + cos 2x + 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) .

12/20

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - \sin 2x\).

a) Hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \cos 2x + 2\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

b) Biết hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\), khi đó phương trình \(g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0\) có đúng một nghiệm.

c) Họ nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).

d) Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và \(G\left( \pi \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2}\). Khi đó \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{{16}} - \frac{1}{2}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Có \(F'\left( x \right) = {x^3} - 2\sin 2x\).

Do đó \(F\left( x \right)\) không là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

b) Có \(g\left( x \right) = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2\cos 2x\).

Suy ra \(g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Vậy phương trình \(g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0\) có đúng một nghiệm.

c) Có \(G\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} - \sin 2x} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).

d) Có \(G\left( \pi \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{{\cos 2\pi }}{2} + C = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2} \Rightarrow C = 0\).

Khi đó \(G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2}\).

Khi đó \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{{64}} - \frac{1}{2}\).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.