Cho hàm số y = f ( x ) = x^3 + bx^2 + cx + 2 đạt cực trị bằng 0 tại x = 1 (với b và c là hằng số).

16/22

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + 2\) đạt cực trị bằng 0 tại \(x = 1\) (với \(b\) và \(c\) là hằng số).

[NB] Đồ thị hàm số đi qua điểm \(I\left( {2;4} \right)\).

ĐúngSai

[VD] Điểm \(M\) thay đổi trên đường thẳng nối 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Với \(O\) là gốc toạ độ thì độ dài \(OM\) nhỏ nhất bằng \(\frac{4}{5}\).

ĐúngSai

[NB] \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

ĐúngSai

[TH] Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(A,\,\,B\). Độ dài \(AB = 5\sqrt 2 \).

ĐúngSai

Giải thích

a) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c\)

Hàm số đạt cực trị bằng 0 tại \(x = 1\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}1 + b + c + 2 = 0\\3 + 2b + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = - 3\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\).

\(f\left( 2 \right) = 4 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(I\left( {2;4} \right)\). Suy ra là mệnh đề đúng.

b) Đường thẳng nối hai điểm cực trị là \(2x + y - 2 = 0\).

Độ dài \(OM\) nhỏ nhất chính là \(d\left( {O;AB} \right) = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Suy ra là mệnh đề sai.

c) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c\). Suy ra là mệnh đề đúng.

d) Hai điểm cực trị của hàm số là \(A\left( {1;0} \right),\,\,B\left( { - 1;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 2;4} \right)\).

\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \). Suy ra là mệnh đề sai.