Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên tập R , biết f ′ ( x ) = x ^2024 ( x − 2 ) ^2025 ( x^2 − 8x + m^2 − 3m − 4 ) , ∀ x ∈ R . Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m

Hướng dẫn giải sơ lược:

Số điểm cực trị của hàm số \(y = f(|x|)\) được tính bằng công thức \(2k + 1\), trong đó \(k\) là số điểm cực trị dương của hàm số \(y = f(x)\).

Để \(y = f(|x|)\) có \(5\) điểm cực trị thì \(2k + 1 = 5 \Rightarrow k = 2\). Tức là hàm số \(y = f(x)\) phải có \(2\) điểm cực trị dương.

Xét dấu \(f'(x)\):

\({x^{2024}} \ge 0\) không làm đổi dấu đạo hàm tại \(x = 0\).

\({(x - 2)^{2025}}\) đổi dấu tại \(x = 2\) (đây là \(1\) cực trị dương).

Vậy phương trình \(g(x) = {x^2} - 8x + {m^2} - 3m - 4 = 0\) phải có thêm đúng \(1\) nghiệm dương phân biệt khác \(2\) (và không phải nghiệm bội chẵn).

Để \(g(x) = 0\) có \(2\) nghiệm mà chỉ có \(1\) nghiệm dương, hoặc có nghiệm kép... ta xét các điều kiện của tam thức bậc hai.

Kết hợp điều kiện \(m\) nguyên dương để tìm tập \(S\) và tính tổng.

Đáp án cần điền là: A.