Cho hàm số y = f( x ) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện và có đồ thị như hình dưới đây
8/235
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn điều kiện và có đồ thị như hình dưới đây
Với giả thiết, phương trình \(f\left( {1 - \sqrt {{x^3} + x} } \right) = a\) có nghiệm. Giả sử khi tham số \(a\) thay đổi, phương trình đã cho có nhiều nhất \(m\) nghiệm và có ít nhất \(n\) nghiệm. Giá trị của \(m + n\) bằng:
5.
3.
4.
7.
Đáp án đúng là \({\bf{B}}\)
Phương pháp giải
Đặ \(t = 1 - \sqrt {{x^3} + x} \), khảo sát hàm \(f\left( t \right)\) vừa nhận được và đánh giá
Lời giải
Ta có: \(f\left( {1 - \sqrt {{x^3} + x} } \right) = a\,\,\left( 1 \right)\). Điều kiện xác định: \({x^3} + x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\).
Đặt \(t = 1 - \sqrt {{x^3} + x} \), phương trình (1) thành \(f\left( t \right) = a\)(2)
Xét hàm số \(y = 1 - \sqrt {{x^3} + x} \) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
\(y' = - \frac{{3{x^2} + 1}}{{2\sqrt {{x^3} + x} }} < 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow \) Hàm số \(y = 1 - \sqrt {{x^3} + x} \) nghịch biến trên (\(0; + \infty \)).
Do và \(y\left( 0 \right) = 1\) nên \(t \le 1\) với mọi \(x \in \left[ {0; + \infty } \right)\).
Với mỗi giá trị \(t \le 1\) có duy nhất giá trị \(x \in \left[ {0; + \infty } \right) \Rightarrow \) số nghiệm của phương trình (1) là số nghiệm \(t \le 1\) của phương trình (2).
Theo giả thiết, phương trình (1) có nghiệm \( \Rightarrow \) phương trình (2) có nghiệm \(t \le 1\) và từ đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đã cho thì phương trình (2) có nhiều nhất 2 nghiệm và ít nhất 1 nghiệm \(t \le 1\).
Vậy \(m + n = 3\).