Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số g ( x ) = f ( 1 − 2 x ) + x^2 − x nghịch biến trên khoảng nào?

3/50

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số $g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right) + {x^2} - x$ nghịch biến trên khoảng nào?

$(I\) trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Xác định tọa độ điểm $I$: (ảnh 1)$

$\left( { - 1;1} \right)$.

$\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$.

$\left( {0;3} \right)$.

$\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)$.

Giải thích

Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right) + {x^2} - x$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $g'\left( x \right) = - 2f'\left( {1 - 2x} \right) + 2x - 1$.

Để hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến

$ \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow - 2f'\left( {1 - 2x} \right) + 2x - 1 \le 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) \ge - \frac{1}{2}\left( {1 - 2x} \right)$ (*).

Đặt: $t = 1 - 2x,t \in \mathbb{R}$, Bất phương trình (*) trở thành: $f'\left( t \right) \ge - \frac{1}{2}t$.

$(I\) trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Xác định tọa độ điểm $I$: (ảnh 2)$

Từ đồ thị ta có: $f'\left( t \right) \ge - \frac{1}{2}t \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le t \le 0}\\{t \ge 4}\end{array}} \right.$.

Do đó: $g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le 1 - 2x \le 0}\\{1 - 2x \ge 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}}\\{x \le - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy hàm số $y = g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$ và $\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right)$. Chọn B.