Cho hàm số y = f( x) có đồ thị như hình vẽ sau

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xét tương giao. Chia các trường hợp của n để đánh giá

Lời giải

Nếu \(n < 0\) thì phương trình vô nghiệm (loại)

Nếu \(n = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = m\) có tối đa 3 nghiệm (loại)

Nếu \(n > 0 \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - 2m} \right| = n \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) - 2m = n}\\{f\left( x \right) - 2m = - n}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 2m + n\,\,(1)}\\{f\left( x \right) = 2m - n\,\,(2)}\end{array}} \right.} \right.\)

Đường thẳng \(y = 2m + n\) song song và nằm phía trên đường thẳng \(y = 2m - n\).

Vì vậy phương trình có đúng 5 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình (2) có 3 nghiệm hoặc ngược lại.

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m + n = 11}\\{ - 5 < 2m - n < 11}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 5 < 2m + n < 11}\\{2m - n = - 5}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{{11 - n}}{2}}\\{ - 5 < \left( {\frac{{11 - n}}{2}} \right) - n < 11}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 5 < \left( {\frac{{n - 5}}{2}} \right) + n < 11}\\{m = \frac{{n - 5}}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{{11 - n}}{2}}\\{ - \frac{{11}}{3} < n < 7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - 3}}{2} < n < 9}\\{m = \frac{{n - 5}}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Trường hợp thứ nhất có 5 cặp số \(\left( {m;n} \right)\)

Trường hợp thứ hai có 5 cặp số ( \(m;n\) )

Vậy có 10 cặp số nguyên \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.