Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên R thỏa mãn f ′ ( x ) + 2 x f ( x ) = 2 x e^( − x^2) . Biết f ( 1 ) = 2/e , tính f ( 0 ) (nhập đáp án vào ô trống).

46/49

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) + 2xf\left( x \right) = 2x{e^{ - {x^2}}}\). Biết \(f\left( 1 \right) = \frac{2}{e}\), tính \(f\left( 0 \right)\) (nhập đáp án vào ô trống).

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

\[f'\left( x \right) + 2xf\left( x \right) = 2x{e^{ - {x^2}}} \Rightarrow {e^{{x^2}}}f'\left( x \right) + 2x{e^{{x^2}}}f\left( x \right) = 2x\]

\[ \Rightarrow \mathop \smallint \nolimits^ \left[ {{e^{{x^2}}}f'\left( x \right) + 2x{e^{{x^2}}}f\left( x \right)} \right]dx = \mathop \smallint \nolimits^ 2xdx\]

\[ \Rightarrow \mathop \smallint \nolimits^ {\left[ {{e^{{x^2}}}f\left( x \right)} \right]^\prime }dx = {x^2} + C \Rightarrow {e^{{x^2}}}f\left( x \right) = {x^2} + C\,\,( * )\]

Vì \(f\left( 1 \right) = \frac{2}{e}\) nên thay \(x = 1\) vào (*) ta được \({e^1}f\left( 1 \right) = 1 + C \Rightarrow e \cdot \frac{2}{e} = 1 + C \Rightarrow C = 1\).

Do đó \({e^{{x^2}}}f\left( x \right) = {x^2} + 1 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{e^{{x^2}}}}} \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1\).

Đáp án cần nhập là: \(1\).