Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R và f ′ ( x ) ≥ x^4 + 2x^2 − 2x ∀ x > 0 và f ( 1 ) = − 1 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Phương pháp giải

Tìm nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\) để tìm \(f\left( x \right)\) từ đó khảo sát hàm số.

Giải chi tiết

Đáp án: 1) Sai, 2) Đúng
\(f'\left( x \right) \ge {x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - 2x = \frac{{{x^6} - 2{x^3} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{{\left( {{x^3} - 1} \right)}^2} + 1}}{{{x^2}}} > 0\forall x > 0\)\( \Rightarrow y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).      (1)
\( \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) \ge \frac{{21}}{5} \Rightarrow f\left( 2 \right) \ge \frac{{17}}{5}\).
Kết hợp giả thiết ta có \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;2} \right]\) và \(f\left( 2 \right)\). \(f\left( 1 \right) < 0\).        (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 1 nghiệm trên ( \(1;2\) ).

Đáp án cần chọn là: S; Đ