Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Số giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( − 2025 ; 2025 ) để hàm số g ( x ) = f ( x^2 − x + m )

\(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - x + m} \right)\)

\(g'\left( x \right) = \left( {2x - 1} \right) \cdot f'\left( {{x^2} - x + m} \right)\).

Để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - x + m} \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\) thì

\(g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right) \cdot f'\left( {{x^2} - x + m} \right) \le 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\).

Mà \(2x - 1 < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên \(f'\left( {{x^2} - x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - x + m \le 1}\\{{x^2} - x + m \ge 4}\end{array},\forall x \in \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 \le  - {x^2} + x}\\{m - 4 \ge  - {x^2} + x}\end{array},\forall x \in \left( { - 1;0} \right)} \right.} \right.\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) =  - {x^2} + x\) trên \(\left( { - 1;0} \right)\)

\(h'\left( x \right) =  - 2x + 1 > 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên hàm số \(h\left( x \right) =  - {x^2} + x\) đồng biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, từ (*) suy ra \[\left[ \begin{array}{l}m - 1 \le  - 2\\m - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le  - 1\\m \ge 4\end{array} \right.\].

Mà \(m\) là số nguyên thuộc khoảng \(\left( { - 2025;2025} \right)\) nên có 4045 giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán. Chọn A.