Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R . Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên như sau Bất phương trình f ( x ) lớn hơn hoặc bằng √ 1 + x − √ 1 − x + m có nghiệm khi và chỉ khi

25/50

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y = f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau

$Bất phương trình \(f\left( (ảnh 1)$

Bất phương trình $f\left( x \right) \ge \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} + m$ có nghiệm khi và chỉ khi

$m \le f\left( 1 \right) - \sqrt 2 $.

$m < f\left( 1 \right) - \sqrt 2 $.

$m \le f\left( { - 1} \right) + \sqrt 2 $.

$m < f\left( { - 1} \right) + \sqrt 2 $.

Giải thích

Bất phương trình $f\left( x \right) \ge \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} + m$ có nghiệm $\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]$

$ \Leftrightarrow f\left( x \right) - \left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right) \ge m$ có nghiệm $\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right)$ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$

Ta có : $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \left( {\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }}} \right)$

Có $\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) \le 0$ và $\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)$

mà $\frac{{\sqrt 2 }}{2} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) \le 1$ nên hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Ta suy ra : $m \le g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) + \sqrt 2 $. Chọn C.