Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R và bảng xét dấu đạo hàm như sau Khẳng định nào sau đây về số cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x^2 + 1 ) + x^2 − x^3 + x^4 là đúng?

Giải chi tiết

Ta có \(g'\left( x \right) = 2x\). \(f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x - 3{x^2} + 4{x^3} = x\). \(\left( {2f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2 - 3x + 4{x^2}} \right)\)
Ta thấy \(4{x^2} - 3x + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) và \({x^2} + 1 > 1,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f'\left( {{x^2} + 1} \right) > 0\)
Do đó \(2f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2 - 3x + 4{x^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\)

Hàm số có đúng một cực tiểu và không có cực đại.

Đáp án cần chọn là: C