Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ

80/100

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ

$Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ (ảnh 1)$

Hàm số $g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2}$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

$\left( { - \infty ; - 2} \right)$

$\left( {1;4} \right)$

$\left( { - 2;2} \right)$

$\left( {2; + \infty } \right)$

Giải thích

Phương pháp giải

- Khảo sát hàm số, lập BBT.

- Tương giao đồ thị giữa một hàm số và $f'\left( x \right)$

Dạng 2: Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số

Lời giải

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Ta có $g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2x \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x$.

Số nghiệm của phương trình $g'\left( x \right) = 0$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ và đường thẳng $y = x$ (như hình vẽ bên dưới).

$Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ (ảnh 2)$

Dựa vào đồ thị, suy ra $g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{x = 2}\\{x = 4}\end{array}} \right.$ .

Ta có bảng xét dấu của hàm $g'(x)$

$Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ (ảnh 3)$

Vậy hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { - 2;2} \right)$ và $\left( {4; + \infty } \right)$.

Chọn C