Cho hàm số y = f( x ) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'( x ) như hình bên dưới. Hỏi hàm số g( x ) = 2f( 2 - x/2) + x^2/4 - 2x + 2020 nghịch biến trên khoảng nào trong các k

Lời giải

Chọn ATa có \(g\left( x \right) = 2f\left( {2 - \frac{x}{2}} \right) + \frac{{{x^2}}}{4} - 2x + 2020 \Rightarrow g'\left( x \right) = - f'\left( {2 - \frac{x}{2}} \right) + \frac{x}{2} - 2\)Đặt \(t = 2 - \frac{x}{2} \Rightarrow x = 4 - 2t\)Suy ra \(g'\left( {4 - 2t} \right) = - f'\left( t \right) - t\)\(g'\left( {4 - 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = - t\,\left( * \right)\)Phương trình (*) là phương trình trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(f'\) và đường thẳng \(y = - x\).Dựa vào đồ thị:\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\)Ta có bảng xét dấu của hàm \(g'\)

\(g(x)\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;10} \right)\)nên nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;\,3} \right)\).