Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = 2x^2 − x − 3 , ∀ x ∈ R . Biết F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) và tiếp tuyến của F ( x ) tại M ( 0 ; 2 ) có hệ số góc bằng 0.

a) \(f'\left( { - 1} \right) = 2.{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) - 3 = 0\).

b) \(f\left( x \right) = \int {\left( {2{x^2} - x - 3} \right)dx}  = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x + C\).

Vì tiếp tuyến của \(F\left( x \right)\) tại \(M\left( {0;2} \right)\)có hệ số góc bằng 0 nên f(0) = 0 \( \Rightarrow C = 0\).

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x\).

c) \(f\left( 2 \right) = \frac{2}{3}{.2^3} - \frac{{{2^2}}}{2} - 3.2 =  - \frac{8}{3}\).

d) \(F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x} \right)dx}  = \frac{{{x^4}}}{6} - \frac{{{x^3}}}{6} + 3.\frac{{{x^2}}}{2} + C\).

Mà \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2\). Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{6} - \frac{{{x^3}}}{6} + 3.\frac{{{x^2}}}{2} + 2\).

Do đó \(F\left( 1 \right) = \frac{{{1^4}}}{6} - \frac{{{1^3}}}{6} + 3.\frac{{{1^2}}}{2} + 2 = \frac{7}{2}\).

Đáp án: a) Đúng;b) Đúng;   c) Sai;    d) Sai.