Cho hàm số y = f ( x ) , có bảng xét dấu của f ′ ( x ) như sau: Biết f ( 2 ) + f ( 6 ) = 2 f ( 3 ) . Hỏi phương trình f ( x^2 + 1 ) = f ( 3 ) có tất cả bao nhiêu nghiệm (nhập đáp án và

Xét hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 1} \right)\) có \(y' = 2x \cdot f'\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{f'\left( {{x^2} + 1} \right) = 0}\end{array}} \right.\).

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {1\,;\,\,3\,;\,\,4} \right\}\) (loại nghiệm kép \(x = 2\)).

Khi đó \(f'\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 1 = 1}\\{{x^2} + 1 = 3}\\{{x^2} + 1 = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 0}\\{{x^2} = 2}\\{{x^2} = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x =  \pm \sqrt 2 }\\{x =  \pm \sqrt 3 }\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Bảng biến thiên của \(f\left( {{x^2} + 1} \right)\):

Dựa vào hình vẽ, ta thấy \(f\left( {{x^2} + 1} \right) = f\left( 3 \right)\) có tất cả 4 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần nhập là: \(4\).