Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm của phương trình f ( sin x + 1 ) = 2 trên đoạn [ − pi ; 2 pi ] là:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình

\(f\left( {{\rm{sin}}x + 1} \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x + 1 = a\,\,\left( {a < 0} \right)}\\{{\rm{sin}}x + 1 = b\,\,\left( {0 < b < 1} \right)}\\{{\rm{sin}}x + 1 = c\,\,\left( {1 < c < 2} \right)}\\{{\rm{sin}}x + 1 = d\,\,\left( {d > 2} \right)}\end{array}} \right.\).

Vì \(x \in \left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) nên \({\rm{sin}}x + 1 \in \left[ {0;2} \right]\). Do đó \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x + 1 = b\,\,\left( {0 < b < 1} \right)\,\,(1)}\\{{\rm{sin}}x + 1 = c\,\,\left( {1 < c < 2} \right)\,\,(2)}\end{array}} \right.\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {\rm{sin}}x + 1\) trên \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\)

\(g'\left( x \right) = {\rm{cos}}x\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{2}\\x = \frac{\pi }{2}\\x = \frac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\) (do \(x \in \left[ { - \pi ;2\pi } \right]\)).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy số nghiệm của phương trình \(f\left( {{\rm{sin}}x + 1} \right) = 2\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) là 6. Chọn C.