Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số y = f ( x^2 − 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
10/49
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Hàm số\[y = f\left( {{x^2} - 2} \right)\] nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( { - \infty ; - 2} \right)\].
\[\left( {0;2} \right)\].
\[\left( {2; + \infty } \right)\].
\[\left( { - 2;0} \right)\].
Quan sát bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\).
Với \(y = f\left( {{x^2} - 2} \right)\) ta có \(y' = 2x \cdot f'\left( {{x^2} - 2} \right)\).
Vậy \(y' = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 0\\f\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = 0\\{x^2} - 2 = \pm 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \\x = \pm 2\end{array} \right.\).
Từ bảng biến thiên của hàm số \[y = f\left( x \right)\] ta thấy \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < x < 0\\x > 2\end{array} \right.\).
Vậy \(f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < {x^2} - 2 < 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < {x^2} < 2\\{x^2} > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < \sqrt 2 \\ - \sqrt 2 < x < 0\\x > 2\\x < - 2\end{array} \right.\).
Ta có bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu \(y'\) ta được \(y' < 0\) \(\forall x \in \)\(\left( { - 2; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {0;\sqrt 2 } \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Chọn C.