Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 2x - 5}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

a) ĐÚNG. Đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành có phương trình \(y = m\). Số giao điểm của đường thẳng này với \(\left( C \right)\) chính là số nghiệm của phương trình:

\(\frac{{3{x^2} + 2x - 5}}{{x + 1}} = m \Leftrightarrow 3{x^2} + \left( {2 - m} \right)x - \left( {5 + m} \right) = 0\quad \left( {x \ne - 1} \right)\).

Phương trình bậc hai này có biệt thức:

\({\rm{\Delta }} = {\left( {2 - m} \right)^2} - 4 \cdot 3 \cdot \left[ { - \left( {5 + m} \right)} \right] = {m^2} - 4m + 4 + 60 + 12m = {m^2} + 8m + 64 = {\left( {m + 4} \right)^2} + 48 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\).

Đồng thời thế \(x = - 1\) vào phương trình: \(3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + \left( {2 - m} \right) \cdot \left( { - 1} \right) - \left( {5 + m} \right) = 0 \Leftrightarrow 3 - 2 + m - 5 - m = - 4 \ne 0\).

Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 1\) với mọi \(m\). Vậy mọi đường thẳng \(y = m\) đều luôn cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

b) ĐÚNG. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3{x^2} + 2x - 5}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 5} \right)}}{{x + 1}} = \infty \) (do tử thức tiến về \( - 4 \ne 0\) và mẫu thức tiến về \(0\)).

Vậy \(x = - 1\) là đường tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\).

c) SAI. Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d:y = x\) là:

\(\frac{{3{x^2} + 2x - 5}}{{x + 1}} = x \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 5 = {x^2} + x\quad \left( {x \ne - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 5 = 0\).

Vì \(a \cdot c = 2 \cdot \left( { - 5} \right) = - 10 < 0\), phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 1\).

Theo định lý Vi-ét, tổng hai nghiệm là: \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{2} \ne - \frac{1}{4}\).

d) ĐÚNG. Phân tích hàm số: \(y = \frac{{3{x^2} + 2x - 5}}{{x + 1}} = 3x - 1 - \frac{4}{{x + 1}}\).

Giao điểm của hai đường tiệm cận (tiệm cận đứng \(x = - 1\) và tiệm cận xiên \(y = 3x - 1\)) là tâm đối xứng \(I\) của đồ thị.

Thế \(x = - 1\) vào phương trình tiệm cận xiên ta được \(y = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 = - 4\).

Vậy tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(I\left( { - 1; - 4} \right)\).