Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^3} - 8}}}&{{\rm{khi\;}}x \ne 2}\\{x + 2025}&{{\rm{khi\;}}x = 2}\end{array}} \right.\

Ta xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 2\):

• Giá trị hàm số tại \(x = 2\): \(f\left( 2 \right) = 2 + 2025 = 2027\).
• Giới hạn của hàm số khi \(x \to 2\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^3} - 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 4}} = \frac{{2 \cdot 2 + 1}}{{{2^2} + 2 \cdot 2 + 4}} = \frac{5}{{12}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \frac{5}{{12}} \ne f\left( 2 \right) = 2027\) nên hàm số không liên tục tại \(x = 2\).

Chọn A.