Cho hàm số \(y = {e^x}\). a) Diện tích hình học phẳng được giới hạn bới hàm số đã cho

a) Đúng.

Diện tích hình học phẳng được giới hạn bởi hàm số \(y = {e^x}\), trục hoành, \(x =  - 1\) và \(x = 1\) là

\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x}} \right|} \,dx = \left. {{e^x}} \right|_{ - 1}^1 = e - \frac{1}{e} = \frac{{{e^2} - 1}}{e}\) .

b) Đúng.

Diện tích hình học phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {e^x}\], \[y = 0\], \[x = 0\] và \[x = \ln 4\] là

\[S = \int\limits_0^{\ln 4} {{e^x}dx}  = \left. {{e^x}} \right|_0^{\ln 4} = \]\[{e^{\ln 4}} - {e^0} = 4 - 1 = 3\].

c) Sai.

Ta có: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}} dx\)\( = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}} dx\)\( = \pi .\frac{{{e^{2x}}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right.\)\( = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2} \cdot \)

d) Đúng.

Ta có: \(y' = {e^x} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 1\), \(y\left( 0 \right) = 1\)

Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại điểm \(x = 0\) là

\(\begin{array}{l}y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\ \Leftrightarrow y = 1\left( {x - 0} \right) + 1\\ \Leftrightarrow y = x + 1\end{array}\)

Diện tích hình học phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(d\), trục hoành , \(x =  - 1\) và \(x = 1\) là

\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)dx}  = \left. {\frac{1}{2}{x^2} + x} \right|_{ - 1}^1 = 2\).