Cho hàm số y = (ax^2 + bx + c)/(x + n) với a ≠ 0, có đồ thị là đường cong như hình.
21/27
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + n}}\) với a ≠ 0, có đồ thị là đường cong như hình 
Hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ\{−2}.
Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = −3; đạt cực tiểu tại x = −1.
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng y = −2.
Hàm số đã cho là \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Dựa vào đồ thị ta thấy trên các khoảng (−3; −2) và (−2; −1) đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng này.
b) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = −3 và đạt cực tiểu tại x = −1.
c) Sai. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng x = −2.
d) Đúng. Vì x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nên hàm số có dạng \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 2}}\).
Có \(y' = \frac{{a{x^2} + 4ax + 2b - c}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\); y' = 0 Û ax2 + 4ax + 2b – c = 0.
Hơn nữa x = −1; x = −3 là các điểm cực trị của hàm số nên y'(−1) = 0 và y'(−3) = 0.
Lại có các điểm (−1; 1) và (−3; −3) thuộc đồ thị hàm số.
Khi đó ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - 1} \right) = 0\\f\left( { - 1} \right) = 1\\f\left( { - 3} \right) = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 2b - c = 0\\a - b + c = 1\\ - 9a + 3b - c = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = 3\end{array} \right.\).
Vậy hàm số đã cho là \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\).