Cho hàm số y = (ax^2 + bx + c)/(x + d) có bảng biến thiên như hình. Tính f(5).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −7

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có tiệm cận đứng là x = −d.

Dựa vào bảng biến thiên ta có x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Suy ra d = −1.

Khi đó \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x - 1}}\).

Có \(y' = \frac{{a{x^2} - 2ax - b - c}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có x = −1 và x = 3 là nghiệm của phương trình ax² – 2ax – b – c = 0.

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2a - b - c = 0\\9a - 6a - b - c = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 3a - b - c = 0\) (1).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( { - 1} \right) = 2\\y\left( 3 \right) = - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{a - b + c}}{{ - 2}} = 2\\\frac{{9a + 3b + c}}{2} = - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b + c = - 4\\9a + 3b + c = - 12\end{array} \right.\) (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3a - b - c = 0\\a - b + c = - 4\\9a + 3b + c = - 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\\c = - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} - 3}}{{x - 1}}\).

Khi đó f(5) = −7.