Cho hàm số y= (ax^2-bx-c)/(mx-n) (với a>0, m≠0) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi trong các hệ số b, c, m, n có bao nhiêu hệ số dương?

Đáp án: 3.

Ø Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = 1\).

Theo công thức, tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu số: \(mx - n = 0 \Leftrightarrow x = \frac{n}{m}\).

Do đó \(\frac{n}{m} = 1 \Rightarrow m = n\), suy ra \(m\) và \(n\) cùng dấu.

Ø Tiệm cận xiên có dạng: \(y = Ax + B\)

Với \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \frac{a}{m}\)

\(B = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - Ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{a{x^2} - bx - c}}{{mx - n}} - \frac{a}{m}x} \right] = \frac{{an - bm}}{{{m^2}}}\)

Vậy đường tiệm cận xiên là \(y = \frac{a}{m}x + \frac{{an - bm}}{{{m^2}}}\).

Dựa vào đồ thị, tiệm cận xiên qua \(M\left( { - 2;0} \right),\,N\left( {0;2} \right)\) nên tiệm cận xiên có phương trình \(y = x + 2\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{m} = 1\\\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m\\\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\end{array} \right.\)

Theo giả thiết \(a > 0\) nên \(m > 0\,\left( 1 \right)\).

mà \(m = n\) suy ra \(n > 0\,\,\left( 2 \right)\)

Thế \(m = n,\,a = m\) vào \(\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\) ta được

\(\frac{{{m^2} - bm}}{{{m^2}}} = 2 \Rightarrow 1 - \frac{b}{m} = 2 \Rightarrow \frac{b}{m} =  - 1 \Rightarrow b =  - m < 0\,\,\left( 3 \right)\)

Ø Giao điểm của đồ thị \(y = \frac{{a{x^2} - bx - c}}{{mx - n}}\) với trục tung: Cho \(x = 0\) ta được \(y = \frac{c}{n}\).

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị cắt trục tung tại \(y = 1\)\( \Rightarrow \frac{c}{n} = 1 \Rightarrow c = n > 0\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) ta suy ra \(m > 0\), \(n > 0\), \(c > 0\), \(b < 0\)

Vậy có 3 hệ số dương là \(m,n,c\).