Cho hàm số y = (ax^2 + bx + c)/(mx + n) có bảng biến thiên như hình vẽ.

13/22

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}$ có bảng biến thiên như hình vẽ.

$Cho hàm số $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}$ có bảng biến thiên như hình vẽ. (ảnh 1)$

Hệ số $c$ và $n$ luôn trái dấu.

ĐúngSai

Hệ số $a$ và $n$ luôn cùng dấu.

ĐúngSai

Phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

ĐúngSai

$a + b + c = m + n$.

ĐúngSai

Giải thích

Từ BBT, ta rút ra các nhận xét sau:

Đồ thị có một đường tiệm cận đứng tại điểm hàm số không xác định là $x = 3$. Do đó, mẫu số $mx + n = 0$ tại $x = 3 \Rightarrow 3m + n = 0 \Rightarrow n = - 3m$.

Tại $x = 1$, ta có $y = 1$ và $y' = 0$.

Tại $x = 5$, ta có $y = - 7$ và $y' = 0$.

Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty $. Mà $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{a{x^2}}}{{mx}} = {\rm{l}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{a}{m}x$. Để giới hạn này ra $ - \infty $ khi $x \to + \infty $ thì $\frac{a}{m} < 0$, nghĩa là $a$ và $m$ trái dấu.

a) Sai.Từ BBT, đường tiệm cận xiên là đạo hàm khi chia tử cho mẫu: $y = \frac{a}{m}x + \ldots $. Đường thẳng nối hai điểm cực trị $\left( {1;1} \right)$ và $\left( {5; - 7} \right)$ có phương trình là $y = - 2x + 3$. Trong hàm bậc hai trên bậc nhất, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là $y = \frac{{{{\left( {a{x^2} + b,x + c} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {mx + n} \right)}^\prime }}} = \frac{{2ax + b}}{m}$.

Từ hệ phương trình các cực trị, ta tìm được một bộ số cụ thể thỏa mãn BBT (nhánh đồ thị đi xuống, tiệm cận đứng $x = 3$): Chọn $m = 1 \Rightarrow n = - 3$. Khi đó $a < 0$, giải ra hàm số cụ thể là $y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 1}}{{x - 3}}$. Lúc này $c = - 1$ và $n = - 3$ cùng dấu. Do đó phát biểu “luôn trái dấu” là Sai.

b) Đúng. Ta có $3m + n = 0 \Rightarrow n = - 3m$, suy ra $n$ và $m$ trái dấu. Mà từ giới hạn, ta đã chứng minh $a$ và $m$ trái dấu. Do đó, $a$ và $n$ bắt buộc phải cùng dấu.

c) Đúng. Nhìn vào hàng $y'$, ta thấy $y' = 0$ tại hai điểm phân biệt là $x = 1$ và $x = 5$.

d) Đúng. Tại $x = 1$, giá trị của hàm số là $y\left( 1 \right) = 1$. Thay $x = 1$ vào công thức hàm số:

$y\left( 1 \right) = \frac{{a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c}}{{m \cdot 1 + n}} = \frac{{a + b + c}}{{m + n}} = 1 \Rightarrow a + b + c = m + n$.